1. В строчку записаны первые 10 простых чисел без пробелов. Как вычеркнуть 6 цифр, чтобы получилось наибольшее возможное число? Запишите число, оставшееся после вычёркивания.
2. В каждой клетке прямоугольной таблицы размером М×К (М строк и К столбцов) записано число. Сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце равна 100. Докажите, что М = К.
3. Найдите последнюю цифру числа 1×2 + 2×3 + ... + 999×1000.
4. На столе лежит 21 монета решкой вверх. За одну операцию разрешается перевернуть любые 20 монет. Можно ли за несколько операций добиться, чтобы все монеты легли орлом вверх? Ответ обосновать.
5. Можно ли несколько раз подряд записать число 2017 так, чтобы получившееся число делилось на 9? Если можно, то какая наименьшая длина числа при этом будет?
6. Когда «послезавтра» станет «вчера», то «сегодня» будет так же далеко от воскресенья, как тот день, который был «сегодня», когда «вчера» было «завтра».

1. Первые десять простых чисел:

\[2357111317192329.\]

После вычёркивания шести цифр наибольшее число:

7117192329.

2. Сумма всех чисел таблицы, найденная по строкам, равна \(100M\). Та же сумма, найденная по столбцам, равна \(100K\). Значит, \(100M=100K\), поэтому \(M=K\).

3. Сгруппируем слагаемые:

\[1\cdot2+2\cdot3+\ldots+999\cdot1000.\]

Последняя цифра каждого произведения повторяется с периодом \(10\). Сумма произведений от \(1\cdot2\) до \(10\cdot11\) оканчивается цифрой \(0\), а таких групп \(99\). Остаётся \(991\cdot992+\ldots+999\cdot1000\), эта сумма также оканчивается на \(0\).

Ответ: \(0\).

4. Нельзя. При переворачивании \(20\) монет меняется число монет, лежащих орлом вверх, на чётное число: среди перевёрнутых монет одни решки станут орлами, а другие орлы — решками. Поэтому чётность числа орлов не меняется. Сначала орлов \(0\), это чётное число, а в конце должно быть \(21\), нечётное. Значит, добиться этого невозможно.

5. Можно. Сумма цифр числа \(2017\) равна \(10\). Если записать его \(9\) раз, сумма цифр будет \(90\), а она делится на \(9\). Меньшее число повторений не подходит, так как \(10n\) делится на \(9\) только при \(n=9\).

Ответ: да, наименьшая длина — \(36\) цифр.

6. «Послезавтра» станет «вчера» через три дня, а «вчера» было «завтра» два дня назад. Эти дни отстоят друг от друга на пять дней. Условию соответствует понедельник.

Ответ: сегодня — понедельник.

0 0 Пожаловаться