уравнение реакции между раствором силиката калия и раствором щёлочи LiOH

Короткий ответ: реакции, дающей новые вещества, в водном растворе не происходит.

Почему: раствор «жидкого стекла» — это, по сути, раствор силикат-ионов $\mathrm{SiO_3^{2-}}$ (или метасиликатных форм при разной щёлочности) и катионов калия $\mathrm{K^+}$. Добавление раствора $\mathrm{LiOH}$ лишь увеличивает щёлочность и вносит катионы лития $\mathrm{Li^+}$. Все возможные «продукты обмена» — $\mathrm{Li_2SiO_3}$ и $\mathrm{KOH}$ — в воде хорошо растворимы и находятся в тех же ионных формах. Нет осадка, нет выделения газа и нет образования слабого электролита — значит, движущей силы для реакции двойного обмена нет.

Ионная картина после смешивания:

Иногда пишут формальную «реакцию обмена» как обратимую:

но по сути это одна и та же система ионов в растворе, поэтому фактического химического превращения нет.