Какое минимальное основание должна иметь система счисления если в ней могут быть записаны числа 403, 561, 666, 125

Минимальное основание — 7.

Объяснение: в позиционных системах любая цифра должна быть меньше основания $b$. В записях 403, 561, 666, 125 наибольшая цифра — 6 (особенно видно в числе 666). Значит $b-1 \ge 6$, то есть $b \ge 7$. При $b=7$ все используемые цифры 0–6 допустимы, следовательно, такие записи возможны именно начиная с основания 7.