Что такое множество и элемент множества?

Множество — это совокупность каких-то объектов, объединённых по выбранному признаку и рассматриваемых как единое целое. Эти объекты могут быть чем угодно: числами, буквами, точками, людьми, предметами, словами, геометрическими фигурами и т. д. Главное, чтобы было понятно, какие объекты входят в совокупность, а какие — нет.

Обычно множество обозначают заглавными латинскими буквами: $A$, $B$, $M$. А сами объекты, которые могут входить в множество, называют элементами и обозначают строчными буквами: $a$, $b$, $x$.

Что такое элемент множества

Элемент множества — это отдельный объект, который принадлежит данному множеству.

Если $x$ входит в множество $A$, пишут:

Читается: “$x$ принадлежит множеству $A$” или “$x$ является элементом множества $A$”.

Если $x$ не входит в множество $A$, пишут:

Читается: “$x$ не принадлежит множеству $A$”.

Примеры

1. Пусть $A = \{1, 2, 3\}$.
   Тогда:

• $2 \in A$ (2 — элемент множества $A$)

• $5 \notin A$ (5 не входит в $A$)

2. Пусть $B$ — множество дней недели.
   Тогда “понедельник” — элемент множества $B$, а “13” — не элемент множества $B$.

3. Пусть $C = \{\text{кот}, \text{собака}, \text{хомяк}\}$.
   Тогда “кот” — элемент $C$, а “тигр” может не быть элементом $C$ (если не указан).

Важные уточнения

1) В множестве элементы не повторяются

Если записать $\{1, 1, 2\}$, это всё равно то же самое множество, что и $\{1, 2\}$. Повторы не имеют значения.

2) Порядок элементов не важен

Это одно и то же множество.

3) Множество может быть пустым

Пустое множество — это множество без элементов. Обозначается $\varnothing$ или $\{\}$.
Например, множество “натуральных чисел меньше 0” — пустое.

4) Элементы множества могут быть разной природы (если так задано)

Можно задать множество, где есть и число, и слово, и символ, например:

Такое допустимо, если это оговорено.

Короткое резюме

• Множество — это “набор” объектов, определённых по правилу или перечислением.

• Элемент множества — это один конкретный объект из этого набора.

• Записи: $x \in A$ — принадлежит, $x \notin A$ — не принадлежит.