1) В какой системе счисления справедливо следующее: 22 + 44 = 110?

2) Десятичное число 59 эквивалентно числу 214 в некоторой другой системе счисления. Найдите основание этой системы.

1) Пусть основание системы счисления равно \(x\). Тогда число 22 записывается как \(2x + 2\), 44 как \(4x + 4\), а 110 как \(1\cdot x^2 + 1\cdot x + 0 = x^2 + x\). Уравнение:

\[x^2 + x = (2x + 2) + (4x + 4)\]

\[x^2 + x = 6x + 6\]

\[x^2 - 5x - 6 = 0\]

Корни: \(x = 6\) и \(x = -1\) (не подходит). Ответ: основание 6.

2) Десятичное число 59 равно числу 214 в системе с основанием \(y\). Запишем: \(2y^2 + 1y + 4 = 59\).

\[2y^2 + y + 4 = 59\]

\[2y^2 + y - 55 = 0\]

Дискриминант: \(D = 1 + 440 = 441\), \(\sqrt{D} = 21\).

\[y = \frac{-1 \pm 21}{4}\]

Положительный корень: \(y = 5\). Ответ: основание 5.

0 0 Пожаловаться