1. May I come in? 2. Let me look at your exercises. I may be able to help you. 3. I cannot swim, because until this year the doctor did not allow me to be more than two minutes in the water. But this year he says I may stay in for fifteen minutes if I like, so I am going to learn to swim. 4. Libraries are quite free, and anyone who likes can get books there. 5. I may come and see you tomorrow if I have time. 6. Take your raincoat with you: it may rain today. 7. Do you think you can do that? 8. I can finish the work tomorrow if no one bothers me any more. 9. May we come and see you next Sunday at three o'clock in the afternoon?

May I come in?
Этот вопрос — это вежливая просьба разрешить войти. Использование "may" в данном случае подчеркивает формальность и уважение к собеседнику.

Let me look at your exercises. I may be able to help you.
Здесь "may" указывает на возможность. Говорящий выражает неопределенную вероятность того, что сможет помочь, если сможет понять задания.

I cannot swim, because until this year the doctor did not allow me to be more than two minutes in the water. But this year he says I may stay in for fifteen minutes if I like, so I am going to learn to swim.
В этом случае "may" используется для выражения разрешения. Врач разрешил проводить больше времени в воде, и это дает возможность учиться плавать.

Libraries are quite free, and anyone who likes can get books there.
Здесь слово "can" означает способность или возможность. Это утверждение о том, что библиотеки открыты для всех, кто желает брать книги.

I may come and see you tomorrow if I have time.
В данном контексте "may" выражает возможность. Говорящий не уверяет, что придет, но выражает намерение сделать это, если у него будет время.

Take your raincoat with you: it may rain today.
Здесь "may" указывает на вероятность. Говорящий предупреждает собеседника, что дождь может пойти, и советует взять с собой дождевик.

Do you think you can do that?
"Can" используется для выражения способности. Вопрос задается, чтобы узнать, возможно ли выполнить какую-то задачу.

I can finish the work tomorrow if no one bothers me any more.
Здесь "can" также выражает способность или возможность выполнить задачу. Говорящий уверен в том, что завершит работу, если не будет отвлечений.

May we come and see you next Sunday at three o'clock in the afternoon?
Это вежливый запрос, выражающий просьбу о разрешении. "May" здесь используется для того, чтобы спросить, разрешает ли собеседник принять гостей в указанное время.