1) There are ___ buses today and I can't go shopping 2) My mother likes ___ music. 3) Can I have ___ milk in my tea? 4) Were there ___ of our teachers in the laboratory? 5) People need ___ oxygen for breathing. 6) My brother doesn't like ___ carrot.

There are no buses today and I can't go shopping.
Здесь нужно no, потому что речь о полном отсутствии автобусов (0 автобусов). Это “нулевое” количество.

My mother likes classical music.
Здесь не нужно some/any/no, потому что “music” — неисчисляемое, а пропуск перед словом “music” обычно заполняется прилагательным, которое уточняет, какая именно музыка. Самый типичный вариант в учебных заданиях: classical.

Can I have some milk in my tea?
В вежливых просьбах и предложениях обычно ставят some, даже если это вопрос. Мы ожидаем, что молоко, скорее всего, можно получить.

Were there any of our teachers in the laboratory?
В вопросах, когда мы просто уточняем, было ли хоть сколько-то людей, обычно используется any: были ли там вообще какие-нибудь из наших учителей.

People need some oxygen for breathing.
“Oxygen” — неисчисляемое. В утвердительных предложениях, когда говорим о некотором количестве вещества, обычно ставят some: людям нужно некоторое количество кислорода, чтобы дышать.

My brother doesn't like any carrot.
В отрицательных предложениях обычно употребляют any. По смыслу: он не любит никакую морковь (вообще). (Чаще по-английски сказали бы “doesn’t like carrots”, но по формату задания с пропуском ожидается any.)