Раскройте скобки, выбирая требующееся время глагола: 1) My friend asked me who said (is playing, was playing) the piano in the sitting room. 2) He said he (will come, would come) to the station on see me off. 3) I was sure he (posted, had posted) the letter. 4) I think the weather (will be, would be) fine next week.

Нужно выбрать форму времени в придаточных предложениях, исходя из правила согласования времён (Sequence of Tenses): если глагол в главном предложении стоит в прошедшем времени (asked, said, was sure), то в придаточном обычно тоже используется «прошедшая» форма (Past / Future in the Past), а для действия, которое произошло раньше другого прошедшего, — Past Perfect. Если же главное предложение в настоящем (I think), то согласование по прошедшему не требуется — выбираем обычное будущее.

1) My friend asked me who said (is playing, was playing) the piano in the sitting room.

Правильно: was playing.

Почему: главное действие в прошедшем — asked. Вопрос «кто играл» относится к моменту в прошлом, значит «настоящее продолженное» (is playing) не подходит. Нужно Past Continuous, чтобы показать процесс в тот момент:
My friend asked me who said was playing the piano in the sitting room.

2) He said he (will come, would come) to the station on see me off.

Правильно: would come. (И грамматически вернее: to see me off.)

Почему: главное — He said (прошедшее), значит «будущее» в придаточном превращается в Future in the Past: will → would. То есть он пообещал/сообщил в прошлом, что придёт потом.
He said he would come to the station to see me off.

3) I was sure he (posted, had posted) the letter.

Правильно: had posted.

Почему: I was sure — прошедшее. Если письмо было отправлено раньше того момента, когда я был уверен, нужно Past Perfect (действие до другого прошедшего). Это самый типичный смысл: сначала он отправил письмо, потом я был уверен в этом.
I was sure he had posted the letter.

(Если бы смысл был «я был уверен, что он отправил письмо именно тогда/в тот период», без акцента на “раньше”, можно было бы встретить posted, но в учебных заданиях здесь обычно ждут had posted.)

4) I think the weather (will be, would be) fine next week.

Правильно: will be.

Почему: главное — I think (настоящее), поэтому используется обычное будущее время. Would be тут звучало бы как «будущее в прошедшем» или как более условное/гипотетическое, но в данной конструкции с I think и указанием времени next week нужен стандартный вариант:
I think the weather will be fine next week.

Итоговые ответы

1. was playing

2. would come

3. had posted

4. will be