Has или have в предложении ...... you got a dog?

Правильный вариант — Have: Have you got a dog?

Объяснение по пунктам:

1. Подлежащее — you. С глаголом have во временной конструкции have got форма для you — have, а не has (has — для 3-го лица единственного: he/she/it).
   Примеры:

   • I have got a dog.

   • You have got a dog.

   • He has got a dog.

   • We/They have got dogs.

2. Значение. В конструкции have got (особенно в британском английском) это выражение означает наличие/владение: Have you got a dog? = Do you have a dog?
   В американском английском чаще говорят Do you have a dog? вместо Have you got…?.

3. Не путать с Present Perfect. Форма Have you got a dog? — не вопрос про недавнее получение (не Present Perfect значения «приобрёл»). Если хотите спросить «Ты завёл/приобрёл собаку?» (именно действие получения), по-американски скажут Have you gotten a dog? или Did you get a dog?.

4. Отрицание и сокращения:

   • You haven't got a dog. (у тебя нет собаки)

   • Haven't you got a dog? (разве у тебя нет собаки?)

Итого: для обращения к you используйте Have you got a dog?.