Самое глубокое море и самое мелкое море на материке Евразия.

Если говорить именно о морях, которые омывают берега материка Евразия (то есть относятся к акваториям у её побережий), то обычно приводят такие варианты:

Самое глубокое море в Евразии

Филиппинское море — считается самым глубоким морем у берегов Евразии и вообще самым глубоким морем Мирового океана.
Его максимальная глубина связана с Марианской впадиной и достигает около 10 994 м (точная цифра в разных источниках может немного отличаться из-за методов измерения). Море расположено в западной части Тихого океана, у восточной окраины Азии.

Почему именно оно: у Филиппинского моря есть участки с океаническими желобами предельной глубины, и поэтому по максимальной глубине оно заметно превосходит другие моря, омывающие Евразию.

Самое мелкое море в Евразии

Азовское море — общепринято считается самым мелким морем, омывающим Евразию (и одним из самых мелких морей мира).
Его средняя глубина около 7 м, а максимальная глубина порядка 13–14 м. Оно расположено на юге Восточной Европы и связано с Чёрным морем через Керченский пролив.

Почему именно оно: по и средней, и по максимальной глубине Азовское море существенно мельче большинства других евразийских морей.

Итог

• Самое глубокое море Евразии: Филиппинское море (до ~10 994 м).

• Самое мелкое море Евразии: Азовское море (в среднем ~7 м, максимум ~13–14 м).