В выпуклом четырехугольнике ABCD AB=BC, AD=CD, ∠B=77°, ∠D=141°. Найдите ∠A. Ответ дайте в градусах.

Выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором AB = BC, AD = CD, и даны углы ∠B = 77° и ∠D = 141°, можно решить следующим образом.

1. Так как в четырёхугольнике ABCD выполнены условия AB = BC и AD = CD, то его можно рассматривать как трапецию, у которой основания равны. Это даст нам полезные геометрические свойства, включая взаимные углы.

2. Сначала используем свойство суммы углов в любом выпуклом четырёхугольнике, которая всегда равна 360°:

   $$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360°$$

   Подставляем известные углы:

   $$\angle A + 77^\circ + \angle C + 141^\circ = 360^\circ$$

   Упростим уравнение:

   $$\angle A + \angle C + 218^\circ = 360^\circ$$ $$\angle A + \angle C = 360^\circ - 218^\circ = 142^\circ$$

3. Теперь рассмотрим углы, образуемые сторонами, которые равны между собой (AB = BC и AD = CD). Это приводит к тому, что углы ∠A и ∠C будут равными. То есть:

   $$\angle A = \angle C$$

4. Следовательно, из уравнения $\angle A + \angle C = 142^\circ$ мы получаем:

   $$2 \times \angle A = 142^\circ$$ $$\angle A = \frac{142^\circ}{2} = 71^\circ$$

Таким образом, угол ∠A в этом четырёхугольнике равен 71°.