Высота, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит её на отрезки: 2 см и 6 см. Найти: катеты, гипотенузу и высоту.

Для решения задачи начнем с обозначений. Пусть прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в вершине C, гипотенуза AB. Высота CH, проведенная к гипотенузе AB, делит гипотенузу на два отрезка: AM = 2 см и MB = 6 см. Нужно найти катеты AC, BC, гипотенузу AB и высоту CH.

Шаг 1: Свойства прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике, если проведена высота к гипотенузе, то образуются три прямоугольных треугольника. Эти треугольники подобны друг другу, и мы можем использовать теорему о произведении отрезков гипотенузы.

Шаг 2: Теорема о высоте

Теорема о высоте в прямоугольном треугольнике гласит, что произведение отрезков гипотенузы на которых делит её высота, равно квадрату высоты. То есть:

Подставляем значения отрезков:

Тогда:

Шаг 3: Нахождение гипотенузы

Теперь, зная длину высоты CH, можем найти гипотенузу AB. Гипотенуза AB равна сумме отрезков AM и MB:

Шаг 4: Нахождение катетов

Используем теорему Пифагора для треугольников AMH и MBH, так как они прямоугольные.

1. В треугольнике AMH:

2. В треугольнике MBH:

Теперь мы можем найти катеты AC и BC. Катет AC — это отрезок AH, а катет BC — это отрезок BH.

Таким образом, катеты:

Ответ:

• Катет AC = 4 см

• Катет BC = 4√3 см

• Гипотенуза AB = 8 см

• Высота CH = 2√3 см