Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, если у него биссектриса BD является медианой.

Чтобы доказать, что треугольник ABC равнобедренный, если биссектриса BD является медианой, можно использовать следующие рассуждения:

1. Определения:

   • Биссектриса треугольника — это отрезок, который делит угол пополам.

   • Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

2. Условие задачи:
   У нас есть треугольник ABC, в котором биссектриса BD является медианой. Это значит, что точка D, на которой биссектриса пересекает сторону AC, является серединой этой стороны. То есть, AD = DC.

3. Рассмотрим угол ABD и угол CBD:
   Поскольку BD — это биссектриса угла ABC, то угол ABD равен углу CBD, то есть ∠ABD = ∠CBD.

4. Используем свойства треугольников:
   Мы имеем два треугольника:

   • Треугольник ABD.

   • Треугольник CBD.

   В этих треугольниках:

   • BD общая сторона.

   • ∠ABD = ∠CBD (углы при вершине B равны, так как BD — биссектриса).

   • AD = DC (по условию медианности).

   Таким образом, по признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу (SAS), треугольники ABD и CBD равны.

5. Равенство треугольников и вывод:
   Поскольку треугольники ABD и CBD равны, то их соответствующие стороны равны, то есть AB = BC.

6. Заключение:
   Мы доказали, что AB = BC, а это означает, что треугольник ABC является равнобедренным, так как две его стороны равны.

Таким образом, если в треугольнике ABC биссектриса BD является медианой, то треугольник обязательно равнобедренный.