Основания равнобедренной трапеции равны 9 см и 21 см, а её острый угол равен 60°. Найти периметр трапеции.

Для нахождения периметра равнобедренной трапеции, нужно сначала найти длину боковой стороны трапеции, а затем сложить все её стороны.

1. Дано:

   • Длины оснований: $a = 9$ см и $b = 21$ см.

   • Острый угол трапеции $\alpha = 60^\circ$.

2. Рассчитаем высоту трапеции.

   В равнобедренной трапеции боковые стороны одинаковы. Чтобы найти высоту, изобразим перпендикуляр, который опускаем из вершины одного из острых углов на основание $b$ (большее основание). Этот перпендикуляр будет являться высотой трапеции.

   Разделим трапецию на прямоугольный треугольник, у которого:

   • один катет — это высота $h$,

   • второй катет — это половина разности длин оснований $\frac{b - a}{2}$,

   • гипотенуза — это боковая сторона трапеции, которую нам нужно найти.

   Воспользуемся тригонометрией. Угол $\alpha = 60^\circ$ даёт следующее соотношение для треугольника:

   $$\sin(60^\circ) = \frac{h}{l},$$

   где $l$ — длина боковой стороны трапеции. Из этого уравнения:

   $$h = l \sin(60^\circ) = l \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

3. Найдем половину разности оснований:

   $$\frac{b - a}{2} = \frac{21 - 9}{2} = 6 \text{ см}.$$

4. Используем теорему Пифагора для нахождения боковой стороны $l$:

   В прямоугольном треугольнике гипотенуза $l$, один катет $\frac{b - a}{2} = 6$ см, а второй катет — это высота $h$, которую можно выразить через боковую сторону:

   $$l^2 = \left( \frac{b - a}{2} \right)^2 + h^2.$$

   Подставим выражение для $h$ и найдём $l$:

   $$l^2 = 6^2 + \left( l \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2.$$ $$l^2 = 36 + l^2 \cdot \frac{3}{4}.$$

   Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дробей:

   $$4l^2 = 144 + 3l^2.$$

   Переносим все слагаемые с $l^2$ в одну сторону:

   $$4l^2 - 3l^2 = 144,$$ $$l^2 = 144,$$ $$l = 12 \text{ см}.$$

5. Теперь можно найти периметр трапеции.

   Периметр трапеции $P$ равен сумме всех её сторон:

   $$P = a + b + 2l = 9 + 21 + 2 \cdot 12 = 9 + 21 + 24 = 54 \text{ см}.$$

Ответ: периметр трапеции равен 54 см.