Апофема правильной четырехугольной пирамиды KPRST равна 15, радиус окружности, описанной около основания, равен 12. Найдите косинус двугранного угла при основании пирамиды.

Для нахождения косинуса двугранного угла при основании правильной четырехугольной пирамиды, воспользуемся геометрическими свойствами и треугольниками, которые образуются при вычислении углов между гранями.

1. Дано:

   • Апофема пирамиды $KP = 15$

   • Радиус окружности, описанной около основания, $R = 12$

   • Основание пирамиды — квадрат, так как это правильная четырехугольная пирамида.

2. Обозначения:
   Пусть вершины основания пирамиды $K, P, R, S, T$ образуют правильный квадрат, и рассмотрим одну из его сторон, например $PR$. Поскольку это правильная пирамида, радиус окружности, описанной около основания, является расстоянием от центра основания до любой из вершин. Таким образом, радиус окружности описанной около основания $R = 12$ равен половине диагонали квадрата.

3. Вычисление стороны квадрата:
   Диагональ квадрата $d$ вычисляется по формуле для диагонали квадрата:

   $$d = \sqrt{2} \cdot a$$

   где $a$ — длина стороны квадрата. Но так как радиус описанной окружности $R$ является половиной диагонали, получаем:

   $$R = \frac{d}{2} \Rightarrow 12 = \frac{\sqrt{2} \cdot a}{2}$$ $$a = \frac{12 \cdot 2}{\sqrt{2}} = 12 \sqrt{2}$$

   Таким образом, длина стороны основания $a = 12 \sqrt{2}$.

4. Нахождение двугранного угла:
   Двугранный угол при основании пирамиды — это угол между плоскостями двух граней, которые содержат сторону основания. Рассмотрим треугольник, образованный апофемой, радиусом окружности и вертикальной высотой пирамиды. Двугранный угол можно найти как угол между двумя векторами, один из которых направлен вдоль апофемы, а другой — вдоль линии основания.

5. Косинус угла:
   Вектор нормали к плоскости основания имеет направление, перпендикулярное основанию. Косинус двугранного угла можно найти через скалярное произведение векторов. Рассматриваем векторы нормалей к двум соседним граням пирамиды, пересекающимся по ребру основания. Косинус угла между ними будет равен:

   $$\cos \alpha = \frac{h}{\sqrt{h^2 + R^2}}$$

   где $h$ — высота пирамиды, $R = 12$ — радиус окружности, описанной около основания, и $h$ можно найти по теореме Пифагора, учитывая апофему и радиус.