Диаметр бревна 12 см. можно ли из этого бревна вырезать квадратный брус со стороной 10 см

Короткий ответ: нет, нельзя.

Пояснение. Квадратный брус, вырезаемый из круглого бревна, по сечению — это квадрат, вписанный в окружность. У вписанного квадрата диагональ равна диаметру окружности.
Если сторона квадрата $a$, то диагональ $d=a\sqrt{2}$.

Подставим: $a=10$ см ⇒ $d=10\sqrt{2}\approx 14{,}14$ см.
Диаметр бревна — 12 см. Требуемая диагональ больше диаметра бревна (14,14 > 12), значит такой квадрат не поместится.

Максимальная сторона квадрата, который можно вырезать из бревна диаметром 12 см, равна

То есть реально — не более ~8,5 см на сторону.