Четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны, вписан в окружность. Перпендикуляры, опущенные на сторону AD из вершин B и C, пересекают диагонали AC и BD в точках E и F соответственно. Известно, что BC=1. Найти EF.

Обозначим через $O$ точку пересечения диагоналей. Выберем систему координат с началом в $O$, осью $Ox$ вдоль $AC$, а осью $Oy$ вдоль $BD$. Тогда можно записать:

где $a,b,c,d>0$.

Так как четырёхугольник вписан в окружность, для пересекающихся хорд имеем:

то есть

Направляющий вектор стороны $AD$ равен $(-a,-d)$. Поэтому перпендикуляр к $AD$ имеет направляющий вектор $(d,-a)$.

Перпендикуляр из $B$ имеет вид

Он пересекает $AC$, то есть ось $Ox$, при $y=0$. Отсюда $t=b/a$, значит

где последнее равенство следует из (1).

Аналогично перпендикуляр из $C$ пересекает $BD$, то есть ось $Oy$, в точке

Теперь

Но

следовательно,

Так как $BC=1$, получаем: