Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковой стороной прямой угол. Известно, что боковая сторона вдвое меньше большего основания. Найдите углы трапеции.

Обозначим равнобедренную трапецию $ABCD$, где $AB$ — большее основание, а $AD$ и $BC$ — боковые стороны. Пусть диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $BC$.

По условию боковая сторона вдвое меньше большего основания. Поэтому, если

то

Рассмотрим треугольник $ABC$. Он прямоугольный, так как

В этом треугольнике $AB$ — гипотенуза, причём катет $BC$ равен половине гипотенузы:

В прямоугольном треугольнике катет, равный половине гипотенузы, лежит против угла $30^\circ$. Следовательно,

Тогда второй острый угол треугольника равен

Угол $\angle ABC$ является углом трапеции при большем основании. В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, поэтому

Соседние углы при боковой стороне трапеции в сумме дают $180^\circ$, так как основания параллельны. Значит,

Ответ: углы трапеции равны $60^\circ,\ 60^\circ,\ 120^\circ,\ 120^\circ$.