В треугольнике АВС угол А равен альфа, угол В равен бета. На стороне ВС отмечена точка Е так, что АЕ = m, угол АЕВ равен гамма. Найдите АС.

Дано:

Треугольник $ABC$, в котором:

• $\angle BAC=\alpha$;

• $\angle ABC=\beta$;

• $E$ — точка на стороне $BC$;

• $AE=m$;

• $\angle AEB=\gamma$.

Найти: сторону $AC$.

Решение

Для решения задачи воспользуемся свойством суммы углов треугольника и теоремой синусов.

1. Найдём угол $ACB$.

Известно, что сумма внутренних углов треугольника равна $180^\circ$.

Следовательно, в треугольнике $ABC$:

2. Найдём угол $AEC$.

Поскольку точка $E$ лежит на стороне $BC$, точки $B$, $E$ и $C$ находятся на одной прямой.

Поэтому углы $AEB$ и $AEC$ являются смежными, а их сумма равна $180^\circ$.

Так как $\angle AEB=\gamma$, получаем:

3. Применим теорему синусов к треугольнику $AEC$.

По теореме синусов стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

В треугольнике $AEC$ сторона $AC$ лежит напротив угла $AEC$, а сторона $AE$ — напротив угла $ACE$.

Поскольку $E$ лежит на $BC$, имеем:

Запишем теорему синусов:

Подставим известные величины:

Выразим сторону $AC$:

4. Упростим выражение.

Воспользуемся тригонометрическим тождеством:

Тогда:

Следовательно,

Ответ