OK = 6, угол MON = 120°. Найти стороны MK, NK.

Дано:

• $OK=6$

• $\angle MON=120^\circ$

• $O$ — центр окружности.

• $MK$ и $NK$ — касательные к окружности.

Найти: $MK$ и $NK$.

Решение

1. Рассмотрим свойства касательных.

Так как $MK$ и $NK$ — касательные, проведённые из одной точки $K$, то их отрезки равны:

Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным:

Следовательно, треугольники $OMK$ и $ONK$ прямоугольные.

2. Найдём угол MOK.

Треугольники $OMK$ и $ONK$ равны по гипотенузе и катету, поскольку $OK$ — общая гипотенуза, а $OM=ON$ — радиусы окружности.

Значит, $OK$ является биссектрисой угла $MON$.

3. Найдём радиус OM.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OMK$.

По определению косинуса:

Подставим известные значения:

Отсюда:

4. Найдём сторону MK.

По теореме Пифагора:

5. Найдём сторону NK.

Так как отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны:

Ответ: