Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, а отрезок, соединяющий середину меньшего основания и середину боковой стороны, равен 7. Найдите площадь трапеции.

Обозначим сумму оснований трапеции через \(a+b\), а высоту — через \(h\).

Перпендикулярность диагоналей равнобедренной трапеции даёт:

\[h=\frac{a+b}{2}.\]

Отрезок, соединяющий середину меньшего основания и середину боковой стороны, образует прямоугольный треугольник с катетами \(\frac{a+b}{4}\) и \(\frac{h}{2}\). По условию его длина равна \(7\):

\[7^2=\left(\frac{a+b}{4}\right)^2+\left(\frac{h}{2}\right)^2.\]

Подставим \(h=\frac{a+b}{2}\):

\[49=2\left(\frac{a+b}{4}\right)^2,\qquad a+b=14\sqrt{2}.\]

Тогда \(h=7\sqrt{2}\). Площадь трапеции:

\[S=\frac{(a+b)h}{2}=\frac{14\sqrt{2}\cdot7\sqrt{2}}{2}=98.\]

Ответ: \(98\).

0 0 Пожаловаться