В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 4. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB = 3. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что A1P : PB1 = 2 : 1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C.

Введём координаты: \(A(0,0,0)\), \(B(4,0,0)\), \(C(4,4,0)\), \(A_1(0,0,4)\). Тогда \(K(4,0,3)\), так как \(KB=3\).

Плоскость \(\alpha\) проходит через \(K\) и \(C_1\) и параллельна \(BD_1\). Её уравнение:

\[3x-y+4z=24.\]

На ребре \(A_1B_1\) имеем \(y=0\), \(z=4\). Поэтому \(3x+16=24\), откуда \(x=\frac{8}{3}\). Значит, \(A_1P=\frac{8}{3}\), а \(PB_1=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}\). Следовательно, \(A_1P:PB_1=2:1\).

Плоскость грани \(BB_1C_1C\) имеет уравнение \(x=4\). Нормаль к ней: \((1,0,0)\), а нормаль к плоскости \(\alpha\): \((3,-1,4)\). Поэтому угол наклона \(\varphi\) равен:

\[\cos\varphi=\frac{3}{\sqrt{26}}.\]

Ответ: \(\varphi=\arccos\frac{3}{\sqrt{26}}\).

0 0 Пожаловаться