24. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке М. Докажите, что площадь
треугольника CMD в четыре раза меньше площади параллелограмма ABCD.

Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам, поэтому точка \(M\) — середина диагоналей \(AC\) и \(BD\).

Диагональ \(BD\) делит параллелограмм на два равновеликих треугольника:

\[S_{BCD}=\frac{1}{2}S_{ABCD}.\]

В треугольнике \(BCD\) точка \(M\) является серединой стороны \(BD\). Треугольники \(BCM\) и \(CMD\) имеют общую высоту, проведённую из точки \(C\) к прямой \(BD\), а их основания \(BM\) и \(MD\) равны. Значит, их площади равны:

\[S_{CMD}=\frac{1}{2}S_{BCD}.\]

Тогда

\[S_{CMD}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}S_{ABCD}=\frac{1}{4}S_{ABCD}.\]

Следовательно, площадь треугольника \(CMD\) в четыре раза меньше площади параллелограмма \(ABCD\).

0 0 Пожаловаться