В треугольнике АВС угол С равен 90градусов,АВ равен 8корнем 3,ВС равен 4корнем3.найдите косинус внешнего угла при вершине В?

Чтобы найти косинус внешнего угла при вершине B в прямоугольном треугольнике ABC, давайте шаг за шагом разберемся с задачей.

1. Дано:

   • Угол C прямой (90 градусов).
   • AB = $8\sqrt{3}$ — гипотенуза.
   • BC = $4\sqrt{3}$ — один из катетов.

2. Используем теорему Пифагора для нахождения второго катета: В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Обозначим катет AC как $x$. Тогда:

   $$AB^2 = BC^2 + AC^2$$

   Подставим известные значения:

   $$(8\sqrt{3})^2 = (4\sqrt{3})^2 + x^2$$

   Это даёт:

   $$192 = 48 + x^2$$

   Отсюда:

   $$x^2 = 192 - 48 = 144$$

   Следовательно:

   $$x = 12$$

   Таким образом, катет AC = 12.

3. Косинус угла при вершине B: Косинус угла при вершине B в прямоугольном треугольнике — это отношение длины прилежащего катета (AC) к гипотенузе (AB). То есть:

   $$\cos(\angle ABC) = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{8\sqrt{3}} = \frac{12}{8\cdot\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$$

   Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

   $$\cos(\angle ABC) = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

4. Внешний угол при вершине B: Внешний угол при вершине B равен $180^\circ - \angle ABC$, и косинус внешнего угла будет равен минус косинусу угла $\angle ABC$:

   $$\cos(\text{внешний угол}) = -\cos(\angle ABC) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ответ: косинус внешнего угла при вершине B равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.