Напишите уравнение окружности с диаметром AB, если A(-4;5) и B(2;1).

Чтобы написать уравнение окружности с диаметром, endpoints которого — точки $A(-4; 5)$ и $B(2; 1)$, нам нужно сначала найти несколько ключевых элементов: центр окружности и её радиус.

1. Находим центр окружности.

   Центр окружности находится в середине отрезка, соединяющего точки $A$ и $B$. Для этого вычислим среднее значение координат этих точек:

   $$C_x = \frac{A_x + B_x}{2} = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ $$C_y = \frac{A_y + B_y}{2} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

   Таким образом, центр окружности $C(-1; 3)$.

2. Находим радиус окружности.

   Радиус окружности — это половина длины диаметра, а длина диаметра вычисляется как расстояние между точками $A$ и $B$. Для этого используем формулу расстояния между двумя точками:

   $$d = \sqrt{(B_x - A_x)^2 + (B_y - A_y)^2}$$

   Подставим координаты точек $A(-4; 5)$ и $B(2; 1)$:

   $$d = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{(2 + 4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{6^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$$

   Радиус $r$ — это половина длины диаметра:

   $$r = \frac{d}{2} = \frac{2\sqrt{13}}{2} = \sqrt{13}$$

3. Записываем уравнение окружности.

   Уравнение окружности с центром $C(x_0; y_0)$ и радиусом $r$ имеет вид:

   $$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$$

   Подставим значения центра $C(-1; 3)$ и радиуса $\sqrt{13}$:

   $$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = (\sqrt{13})^2$$ $$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 13$$

Итак, уравнение окружности с диаметром $AB$, где $A(-4; 5)$ и $B(2; 1)$, будет: