Сформулируйте и докажите теорему о перпендикуляре, проведённом из данной точки к данной прямой.

Теорема о перпендикуляре, проведённом из точки к прямой

Формулировка теоремы:
Из любой точки, не лежащей на прямой, можно провести единственный перпендикуляр к этой прямой.

Доказательство:

Пусть дана прямая $\ell$ и точка $A$, не лежащая на этой прямой. Нужно доказать, что из точки $A$ можно провести перпендикуляр к прямой $\ell$ и этот перпендикуляр будет единственным.

1. Существование перпендикуляра:

   Для начала докажем, что перпендикуляр вообще существует. Рассмотрим произвольную точку $B$ на прямой $\ell$ и проведём к ней отрезок $AB$. Мы будем искать такую точку $P$ на прямой $\ell$, для которой угол $\angle ABP$ будет прямым (то есть, равным $90^\circ$).

   Мы можем это сделать с помощью конструктивных методов, например, с использованием циркуля или других геометрических построений. На практике можно использовать метод создания окружности с центром в точке $A$ и пересечением с прямой $\ell$. В итоге, мы получим точку, в которой угол с прямой $\ell$ равен $90^\circ$, что и будет перпендикуляром.

   Следовательно, перпендикуляр можно провести.

2. Единственность перпендикуляра:

   Теперь докажем, что перпендикуляр, проведённый из точки $A$ к прямой $\ell$, единственен.

   Пусть существует два различных перпендикуляра: $AP$ и $AQ$, проведённые из точки $A$ к прямой $\ell$. Мы должны показать, что $P$ и $Q$ совпадают.

   Рассмотрим треугольник $\triangle APQ$. По определению перпендикуляра, $\angle AP\ell = 90^\circ$ и $\angle AQ\ell = 90^\circ$. Следовательно, углы $\angle APQ$ и $\angle AQP$ оба равны $90^\circ$, что означает, что прямая $PQ$ является одной стороной прямого угла, образованного прямыми $AP$ и $AQ$. Таким образом, $P$ и $Q$ не могут располагаться на разных концах прямой, а должны совпадать.

   Следовательно, перпендикуляр, проведённый из точки $A$ к прямой $\ell$, единственный.

Таким образом, мы доказали теорему: из любой точки, не лежащей на прямой, можно провести единственный перпендикуляр к этой прямой.