От какого государства попала в зависимость Русь в XIII веке?

Кратко: от Монгольской империи — точнее, от её западного улуса, Золотой Орды (Улуса Джучи).

После походов Батыя 1237–1240 годов русские княжества были разорены и вынуждены признать верховную власть хана. Формально они сохраняли свои княжеские династии, но зависели от Орды: платили дань («выход»), ездили за ярлыками на княжение, принимали ордынских баскаков и воинов. Эта зависимость, обычно называемая «татаро-монгольским игом», сложилась именно в XIII веке и длилась многие десятилетия.