Этот писатель не только пишет чудесные рассказы о животных, но и сам рисует забавные иллюстрации к ним.

В этом предложении:

Этот писатель не только пишет чудесные рассказы о животных, но и сам рисует забавные иллюстрации к ним.

можно разобрать сразу несколько моментов.

1. Грамматическая основа

• Подлежащее: писатель

• Сказуемые: пишет, рисует

То есть грамматическая основа одна, но сказуемых два:
писатель пишет (рассказы) и (писатель) рисует (иллюстрации).
Подлежащее второму сказуемому не повторяется, но подразумевается.

2. Тип предложения по количеству грамматических основ

Так как подлежащее одно и к нему относятся сразу два сказуемых, это простое предложение (а не сложное).

Точнее: простое осложнённое предложение с однородными сказуемыми.

3. Однородные члены и союз

Сказуемые пишет и рисует — это однородные сказуемые.
Они связаны между собой парным союзом:

• не только …, но и …

Он подчёркивает, что писатель выполняет два равноправных действия:

1. пишет рассказы,

2. рисует иллюстрации.

4. Зачем запятая перед «но и»

Запятая ставится перед «но и», потому что между однородными сказуемыми есть противительно-соединительный союз «но и» (в составе парного союза не только…, но и…). По правилу, однородные члены, соединённые таким союзом, разделяются запятой.

5. Характеристика предложения в целом

Если нужно дать полную формулу:

• По цели высказывания: повествовательное.

• По интонации: невосклицательное.

• По наличию второстепенных членов: распространённое (есть дополнения и определения: чудесные рассказы о животных, забавные иллюстрации к ним).

• По строению: простое осложнённое однородными сказуемыми, с парным союзом не только…, но и….