В каком году родился и умер Илья Муромец?

Короткий ответ: точных дат нет.
Илья Муромец — герой былин, а не документально зафиксированное историческое лицо. Если же отождествлять его с преподобным Ильёй Печерским (мощи в Киево-Печерской лавре), то в научно-популярной литературе чаще всего приводят ориентировочные даты: родился около 1140–1150-х годов, умер около 1203–1204 года (иногда встречается версия о смерти в 1188 году).