Докажите, что из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.

Пусть дана прямая \( a \) и точка \( A \), которая не лежит на этой прямой.

Существование перпендикуляра. Через точку \( A \) можно провести окружность так, чтобы она пересекала прямую \( a \) в двух точках \( B \) и \( C \). Соединим \( A \) с точками \( B \) и \( C \). Получится равнобедренный треугольник \( ABC \), потому что \( AB = AC \). В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой. Значит, если \( H \) — середина \( BC \), то \( AH \perp a \). Перпендикуляр существует.

Единственность перпендикуляра. Предположим, что из точки \( A \) к прямой \( a \) можно провести два разных перпендикуляра: \( AH \) и \( AK \). Тогда через точку \( A \) проходили бы две разные прямые, перпендикулярные одной и той же прямой \( a \). Но такие прямые должны быть параллельны друг другу, а две разные параллельные прямые не могут проходить через одну точку. Получилось противоречие.

Значит, из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.

0 0 Пожаловаться