Помогите объяснить и решить. В14. Найдите наименьшее значение функции y=(x-8)e^(x-7) на отрезке [6;8]

Рассмотрим функцию:

Нам нужно найти наименьшее значение этой функции на отрезке $[6; 8]$. Для этого используем стандартный алгоритм:

1. Найдём производную функции.

2. Найдём критические точки внутри отрезка (то есть такие точки, где производная равна нулю или не существует).

3. Проверим значения функции в концах отрезка и в критических точках, чтобы найти наименьшее значение.

Шаг 1: Найдём производную

Применим правило производной произведения:

Пусть:

• $u = x - 8$

• $v = e^{x - 7}$

Тогда производная:

Сгруппируем:

Шаг 2: Найдём критические точки

Приравниваем производную к нулю:

Так как экспонента $e^{x - 7}$ никогда не равна нулю, то уравнение равно нулю только когда:

Точка $x = 7$ принадлежит отрезку $[6; 8]$, значит, её нужно учитывать.

Шаг 3: Посчитаем значения функции в концах отрезка и в критической точке

Посчитаем:

• $y(6) = (6 - 8)e^{6 - 7} = (-2)e^{-1} = -\frac{2}{e} \approx -0.7357$

• $y(7) = (7 - 8)e^{7 - 7} = (-1)e^0 = -1$

• $y(8) = (8 - 8)e^{8 - 7} = 0 \cdot e^1 = 0$

Ответ:

Сравним значения:

• $y(6) \approx -0.7357$

• $y(7) = -1$

• $y(8) = 0$

Наименьшее значение — -1, и достигается оно при $x = 7$.

Ответ: $-1$.