Решите уравнение x(x²+6x+9)=4(x+3)

Чтобы решить уравнение $x(x^2 + 6x + 9) = 4(x + 3)$, выполните следующие шаги:

1. Раскроем скобки с обеих сторон уравнения.

   Левая часть:

   $$x(x^2 + 6x + 9) = x^3 + 6x^2 + 9x$$

   Правая часть:

   $$4(x + 3) = 4x + 12$$

   Получаем уравнение:

   $$x^3 + 6x^2 + 9x = 4x + 12$$

2. Переносим все члены на одну сторону:

   $$x^3 + 6x^2 + 9x - 4x - 12 = 0$$

   Упростим:

   $$x^3 + 6x^2 + 5x - 12 = 0$$

3. Пробуем найти корни методом подбора. Проверим, при каких значениях $x$ выражение в левой части равно нулю. Начнем с простых целых чисел:

   • Подставим $x = 1$:

     $$1^3 + 6(1)^2 + 5(1) - 12 = 1 + 6 + 5 - 12 = 0$$

     $x = 1$ является корнем уравнения.

4. Разделим кубический многочлен на $x - 1$ с помощью деления многочленов. Для этого применим схему Горнера.

   У нас есть многочлен $x^3 + 6x^2 + 5x - 12$, и мы делим его на $x - 1$.

   Результат деления: $x^2 + 7x + 12$.

   Уравнение теперь примет вид:

   $$(x - 1)(x^2 + 7x + 12) = 0$$

5. Решаем квадратное уравнение $x^2 + 7x + 12 = 0$. Используем дискриминант:

   $$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$$

   Корни уравнения:

   $$x = \frac{-7 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{-7 \pm 1}{2}$$

   Таким образом, $x = \frac{-7 + 1}{2} = -3$ и $x = \frac{-7 - 1}{2} = -4$.

6. Ответ:
   Уравнение имеет три корня: $x = 1$, $x = -3$, $x = -4$.