Решите неравенство |х² - 8| ≤ 2х.

Рассмотрим неравенство:

Для решения этого неравенства нужно рассмотреть два случая, так как модуль выражения разделяет его на два варианта:

1. Когда $x^2 - 8 \geq 0$, то модуль убирается, и неравенство примет вид:

   $$x^2 - 8 \leq 2x$$

   Преобразуем это неравенство:

   $$x^2 - 8 - 2x \leq 0$$ $$x^2 - 2x - 8 \leq 0$$

   Это квадратное неравенство. Для его решения найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$ с помощью дискриминанта:

   $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$

   Корни уравнения:

   $$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = 4$$ $$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = -2$$

   Таким образом, корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$ — это $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$. Теперь определим, на каком интервале выражение $x^2 - 2x - 8$ меньше или равно нулю. Знак функции меняется в точках $x = -2$ и $x = 4$. Проводим анализ знаков на интервалах:

   • На интервале $(-\infty, -2)$ функция положительна.

   • На интервале $(-2, 4)$ функция отрицательна.

   • На интервале $(4, \infty)$ функция положительна.

   Таким образом, неравенство $x^2 - 2x - 8 \leq 0$ выполняется на интервале $[-2, 4]$.

2. Когда $x^2 - 8 < 0$, то модуль выражения можно записать как $-(x^2 - 8) = 8 - x^2$, и неравенство примет вид:

   $$8 - x^2 \leq 2x$$

   Преобразуем его:

   $$8 - x^2 - 2x \leq 0$$ $$-x^2 - 2x + 8 \leq 0$$

   Умножим обе части на $-1$, что меняет знак неравенства:

   $$x^2 + 2x - 8 \geq 0$$

   Это квадратное неравенство. Найдем его корни:

   $$D = (2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$ $$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = -4$$

   Таким образом, корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$