Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: y = x³ - 3,5x² + 4x - 23, x ∈ [-3; 3]

Ответы на вопрос

Отвечает Ергазыулы Дима.

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке $[ -3; 3 ]$ , нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдём производную функции.

Функция:
$y = x^3 - 3.5x^2 + 4x - 23$

Найдем её производную:

y' = \frac{d}{dx} \left( x^3 - 3.5x^2 + 4x - 23 \right)

Производная будет:

y' = 3x^2 - 7x + 4

2. Найдём критические точки.

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

3x^2 - 7x + 4 = 0

Решим это квадратное уравнение. Для этого используем дискриминант:

D = (-7)^2 - 4(3)(4) = 49 - 48 = 1

Корни уравнения:

x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm 1}{6}

Таким образом, получаем два корня:

x_1 = \frac{7 + 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}, \quad x_2 = \frac{7 - 1}{6} = \frac{6}{6} = 1

Итак, критические точки — $x = \frac{4}{3}$ и $x = 1$ .

3. Проверим значения функции на концах отрезка и в критических точках.

Теперь вычислим значения функции в точках $x = -3$ , $x = 3$ , $x = 1$ и $x = \frac{4}{3}$ .

y(-3) = (-3)^3 - 3.5(-3)^2 + 4(-3) - 23 = -27 - 31.5 - 12 - 23 = -93.5

y(3) = 3^3 - 3.5(3)^2 + 4(3) - 23 = 27 - 31.5 + 12 - 23 = -15.5

y(1) = 1^3 - 3.5(1)^2 + 4(1) - 23 = 1 - 3.5 + 4 - 23 = -21.5

y\left(\frac{4}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}\right)^3 - 3.5\left(\frac{4}{3}\right)^2 + 4\left(\frac{4}{3}\right) - 23

Сначала вычислим каждое из слагаемых:

\left(\frac{4}{3}\right)^3 = \frac{64}{27}, \quad \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}, \quad 3.5 \times \frac{16}{9} = \frac{56}{9}, \quad 4 \times \frac{4}{3} = \frac{16}{3}

Ответы на вопрос