X(x-2)(9-x)(x-4)>0

Для решения неравенства $X(x-2)(9-x)(x-4) > 0$, нужно разобраться с его выражением и решить, при каких значениях $X$ оно будет больше нуля.

Шаг 1: Определим корни неравенства

У нас есть произведение четырёх множителей: $X$, $(x-2)$, $(9-x)$ и $(x-4)$. Мы начнём с нахождения корней каждого множителя:

1. $X = 0$

2. $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$

3. $9 - x = 0 \Rightarrow x = 9$

4. $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$

Таким образом, корни данного неравенства: $x = 0$, $x = 2$, $x = 4$, $x = 9$.

Шаг 2: Разделим числовую ось на интервалы

Корни разделяют числовую ось на несколько интервалов:

• $(-\infty, 0)$

• $(0, 2)$

• $(2, 4)$

• $(4, 9)$

• $(9, \infty)$

Теперь будем проверять знак выражения $X(x-2)(9-x)(x-4)$ на каждом из этих интервалов.

Шаг 3: Проверка знаков на каждом интервале

1. На интервале $(-\infty, 0)$:

   • $X < 0$

   • $(x-2) < 0$

   • $(9-x) > 0$

   • $(x-4) < 0$

   Произведение будет $(-) \times (-) \times (+) \times (-) = (+)$. Значит, на интервале $(-\infty, 0)$ выражение больше нуля.

2. На интервале $(0, 2)$:

   • $X > 0$

   • $(x-2) < 0$

   • $(9-x) > 0$

   • $(x-4) < 0$

   Произведение будет $(+) \times (-) \times (+) \times (-) = (+)$. Значит, на интервале $(0, 2)$ выражение больше нуля.

3. На интервале $(2, 4)$:

   • $X > 0$

   • $(x-2) > 0$

   • $(9-x) > 0$

   • $(x-4) < 0$

   Произведение будет $(+) \times (+) \times (+) \times (-) = (-)$. Значит, на интервале $(2, 4)$ выражение меньше нуля.

4. На интервале $(4, 9)$:

   • $X > 0$

   • $(x-2) > 0$

   • $(9-x) > 0$

   • $(x-4) > 0$

   Произведение будет $(+) \times (+) \times (+) \times (+) = (+)$. Значит, на интервале $(4, 9)$ выражение больше нуля.

5. На интервале $(9, \infty)$:

   • $X > 0$

   • $(x-2) > 0$

   • $(9-x) < 0$

   • $(x-4) > 0$

   Произведение будет $(+) \times (+) \times (-) \times (+) = (-)$. Значит, на интервале $(9, \infty)$ выражение меньше нуля.

Шаг 4: Итоговые выводы

Неравенство $X(x-2)(9-x)(x-4) > 0$ выполняется на следующих интервалах:

• $(-\infty, 0)$