sinx+sin^2(x/2)=cos^2(x/2) Решить уравнение

Ответы на вопрос

Отвечает Кравченко Александр.

Рассмотрим уравнение:

\sin x + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) = \cos^2\left(\frac{x}{2}\right)

\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) = 1 - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right)

Подставим это в уравнение:

\sin x + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) = 1 - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right)

\sin x + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - 1 = 0

\sin x + 2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - 1 = 0

\sin x = 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)

Обозначим:

\sin\left(\frac{x}{2}\right) = a,\quad \cos\left(\frac{x}{2}\right) = b

Тогда:

\sin x = 2ab,\quad \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) = a^2

Подставим:

2ab + 2a^2 - 1 = 0

Разделим всё на 2:

ab + a^2 - \frac{1}{2} = 0

Поскольку $\sin^2\left(\frac{x}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) = 1$ , то

b = \sqrt{1 - a^2}

Подставим в уравнение:

a\sqrt{1 - a^2} + a^2 - \frac{1}{2} = 0

Это довольно сложное иррациональное уравнение, но можно попробовать его решить аналитически или подбором.

Попробуем подобрать значения:

\sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Тогда:

\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{4}

Ответы на вопрос