log2(9-2^x)=3-x

Чтобы решить уравнение $\log_2(9 - 2^x) = 3 - x$, начнем с того, что логарифм можно выразить через степень числа 2:

1. Запишем уравнение:

   $$\log_2(9 - 2^x) = 3 - x$$

2. Преобразуем логарифм в экспоненциальную форму:

   $$9 - 2^x = 2^{3 - x}$$

3. Теперь выразим уравнение так, чтобы одна сторона содержала выражение, включающее $2^x$:

   $$9 - 2^x = 2^3 \cdot 2^{-x}$$ $$9 - 2^x = \frac{8}{2^x}$$

4. Умножим обе стороны уравнения на $2^x$ (чтобы избавиться от дроби):

   $$(9 - 2^x) \cdot 2^x = 8$$

   Раскроем скобки:

   $$9 \cdot 2^x - (2^x)^2 = 8$$

   Переобразуем уравнение:

   $$9 \cdot 2^x - 2^{2x} = 8$$

5. Теперь попробуем решить это уравнение методом подбора значений для $x$.

• Если $x = 1$:

  $$9 - 2^1 = 7, \quad 3 - 1 = 2, \quad \log_2(7) \approx 2.81 \neq 2$$

• Если $x = 2$:

  $$9 - 2^2 = 5, \quad 3 - 2 = 1, \quad \log_2(5) \approx 2.32 \neq 1$$

• Если $x = 3$:

  $$9 - 2^3 = 1, \quad 3 - 3 = 0, \quad \log_2(1) = 0$$

Таким образом, $x = 3$ является решением уравнения.