Найдите точку максимума функции \( y = (4x - 7) \cos x - 4 \sin x + 5 \), принадлежащую промежутку \( (0; \pi) \).

Рассмотрим функцию

и найдём её точку максимума на промежутке $(0; \pi)$.

Шаг 1: Найдём производную функции

Для этого применим правило производной произведения и производные тригонометрических функций:

Разложим первую часть по правилу произведения:

Теперь добавим вторую часть производной:

Таким образом, производная:

Шаг 2: Найдём критические точки

Найдём значения $x$, при которых производная равна нулю:

Это уравнение равно нулю в двух случаях:

1. $\sin x = 0$

2. $4x - 7 = 0$

Случай 1: $\sin x = 0$

На промежутке $(0; \pi)$ функция $\sin x = 0$ только при $x = \pi$, но эта точка не входит в открытый интервал $(0; \pi)$, поэтому её не учитываем.

Случай 2: $4x - 7 = 0 \Rightarrow x = \frac{7}{4}$

Это значение принадлежит промежутку $(0; \pi)$, так как:

Шаг 3: Исследуем поведение функции в окрестности точки $x = \frac{7}{4}$

Поскольку у нас есть только одна критическая точка в интервале, проверим знак производной слева и справа от этой точки, чтобы определить, является ли она максимумом.

Рассмотрим знак производной:

• Для $x < \frac{7}{4}$: $4x - 7 < 0$, $\sin x > 0$ (так как $x \in (0; \pi)$), значит:

  $$y' = - (\text{отрицательное}) \cdot (\text{положительное}) = \text{положительное}.$$

• Для $x > \frac{7}{4}$: $4x - 7 > 0$, $\sin x > 0$, значит:

  $$y' = - (\text{положительное}) \cdot (\text{положительное}) = \text{отрицательное}.$$

Итак, производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, в точке $x = \frac{7}{4}$ функция достигает максимума.

Ответ:

Точка максимума функции на интервале $(0; \pi)$ — это $x = \frac{7}{4}$.