Решите уравнение: log(x² - 5x - 23) = 0

Рассмотрим уравнение:

Шаг 1: Преобразуем логарифм

Мы знаем, что $\log(a) = 0$ тогда и только тогда, когда $a = 1$, при условии, что аргумент логарифма положителен. Таким образом, уравнение можно переписать как:

Шаг 2: Решим квадратное уравнение

Теперь нужно решить квадратное уравнение:

Шаг 3: Используем формулу для решения квадратного уравнения

Квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ решается по формуле:

Для нашего уравнения $a = 1$, $b = -5$, $c = -24$. Подставим эти значения в формулу:

Шаг 4: Найдем корни уравнения

Таким образом, мы получаем два значения для $x$:

1. $x = \frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8$

2. $x = \frac{5 - 11}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Шаг 5: Проверим, удовлетворяют ли эти значения исходному логарифмическому уравнению

Необходимо проверить, что аргумент логарифма $x^2 - 5x - 23$ всегда положителен, потому что логарифм определён только для положительных значений.

Для $x = 8$:

Значение аргумента положительное, и логарифм можно вычислить. Это решение подходит.

Для $x = -3$:

Значение аргумента также положительное, и логарифм можно вычислить. Это решение тоже подходит.

Шаг 6: Ответ

Обе найденные значения $x = 8$ и $x = -3$ являются решениями исходного уравнения. Ответ: $x = 8$ и $x = -3$.