Разложите квадратный трехчлен на множители : а) x^2-4x-32 б) 2x^2-9x+4

Для того чтобы разложить квадратный трехчлен на множители, нужно найти такие два числа, которые при умножении дают произведение свободного члена (числа без переменной), а при сложении — коэффициент при $x$. Рассмотрим оба примера.

а) $x^2 - 4x - 32$

1. Определим произведение: нам нужно найти два числа, произведение которых равно $-32$ (свободный член), а сумма которых равна $-4$ (коэффициент при $x$).

   Это числа — $-8$ и $4$, так как:

   $$-8 \times 4 = -32, \quad -8 + 4 = -4.$$

2. Запишем разложение: можно записать:

   $$x^2 - 4x - 32 = (x - 8)(x + 4).$$

Таким образом, разложение на множители для $x^2 - 4x - 32$ будет $(x - 8)(x + 4)$.

б) $2x^2 - 9x + 4$

1. Определим произведение: нам нужно найти два числа, произведение которых равно $2 \times 4 = 8$ (произведение первого и последнего коэффициента), а сумма которых равна $-9$ (коэффициент при $x$).

   Это числа — $-8$ и $-1$, так как:

   $$-8 \times -1 = 8, \quad -8 + (-1) = -9.$$

2. Преобразуем выражение: заменим средний член $-9x$ на $-8x - x$:

   $$2x^2 - 9x + 4 = 2x^2 - 8x - x + 4.$$

   Теперь сгруппируем:

   $$= (2x^2 - 8x) - (x - 4).$$

   Вынесем общий множитель:

   $$= 2x(x - 4) - 1(x - 4).$$

   Теперь можно вынести общий множитель $(x - 4)$:

   $$= (x - 4)(2x - 1).$$

Таким образом, разложение на множители для $2x^2 - 9x + 4$ будет $(x - 4)(2x - 1)$.