Решить уравнение: sin²x - cos²x = 1/2

Для решения уравнения $\sin^2(x) - \cos^2(x) = \frac{1}{2}$, начнем с использования тригонометрической тождественности.

1. Напомним, что $\sin^2(x) - \cos^2(x)$ — это выражение, которое можно записать как:

   $$\sin^2(x) - \cos^2(x) = -\cos(2x)$$

   Это следует из формулы двойного угла для косинуса: $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$, то есть $\sin^2(x) - \cos^2(x) = -\cos(2x)$.

2. Подставим это в исходное уравнение:

   $$-\cos(2x) = \frac{1}{2}$$

3. Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы избавиться от минуса:

   $$\cos(2x) = -\frac{1}{2}$$

4. Теперь решим уравнение $\cos(2x) = -\frac{1}{2}$. Это стандартное тригонометрическое уравнение. Мы знаем, что $\cos(\theta) = -\frac{1}{2}$ при:

   $$\theta = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \theta = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{для любого целого} \, k$$

   Это означает, что для $2x$:

   $$2x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi$$

5. Разделим обе части каждого из этих выражений на 2, чтобы найти $x$:

   $$x = \frac{\pi}{3} + k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{2\pi}{3} + k\pi$$

Итак, решение уравнения $\sin^2(x) - \cos^2(x) = \frac{1}{2}$ — это: