Числитель дроби на 12 меньше знаменателя. Если к числителю добавить 29, а из знаменателя вычесть 7, то получится дробь, обратная данной. Найти эту дробь.

Рассмотрим задачу.

Пусть дробь имеет вид $\frac{x}{y}$, где $x$ — числитель, а $y$ — знаменатель. Из условия задачи нам известно, что числитель на 12 меньше знаменателя, то есть:

Далее сказано, что если к числителю прибавить 29, а из знаменателя вычесть 7, то полученная дробь будет обратной к исходной. То есть, новая дробь будет иметь вид $\frac{x + 29}{y - 7}$, и она должна быть обратной к исходной дроби $\frac{x}{y}$. Это означает, что:

Теперь решим систему уравнений.

1. Из первого уравнения $x = y - 12$ подставим $x$ во второе уравнение:

2. Упростим числитель в левой части уравнения:

3. Перемножим обе части уравнения на $(y - 7)(y - 12)$, чтобы избавиться от знаменателей:

4. Раскроем скобки:

5. Упростим уравнение, убрав $y^2$ с обеих сторон:

6. Переносим все слагаемые, содержащие $y$, в одну сторону:

7. Разделим обе части на 12:

Теперь, зная значение $y$, можем найти $x$. Из уравнения $x = y - 12$:

Таким образом, исходная дробь — это $\frac{x}{y} = \frac{5}{17}$.