Решите уравнение \( x^6 - 7x^3 - 8 = 0 \).

Для того чтобы решить уравнение $x^6 - 7x^3 - 8 = 0$, давайте введем замену. Пусть $y = x^3$. Тогда $x^6 = (x^3)^2 = y^2$, и уравнение преобразуется в квадратное:

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

В нашем случае $a = 1$, $b = -7$, $c = -8$. Подставляем эти значения в формулу:

Таким образом, получаем два значения для $y$:

Теперь возвращаемся к нашей замене $y = x^3$. Рассмотрим два случая:

1. $x^3 = 8$. Из этого уравнения получаем $x = \sqrt[3]{8} = 2$.

2. $x^3 = -1$. Из этого уравнения получаем $x = \sqrt[3]{-1} = -1$.

Таким образом, у уравнения $x^6 - 7x^3 - 8 = 0$ два решения: $x = 2$ и $x = -1$.