В квадрате АВСД случайным образом выбирается точка Х. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит треугольнику АДМ, где точка М: а) является серединой стороны СД; б) делит отрезок СД в отношении 1:2, считая от точки С; в) делит отрезок СД в отношении n:m, считая от точки С.

Пусть квадрат $ABCD$ имеет сторону $a$. Точка $M$ лежит на стороне $CD$. Точка $X$ выбирается равновероятно внутри квадрата, значит

Треугольник $ADM$ прямоугольный ($AD\perp DM$), поэтому

Отсюда

Остаётся найти $DM$ в каждом случае.

а) $M$ — середина $CD$. Тогда $DM=\dfrac a2$, и

б) $M$ делит $CD$ в отношении $1:2$ от точки $C$, то есть $CM:MD=1:2$. Тогда

в) $M$ делит $CD$ в отношении $n:m$ от точки $C$, то есть $CM:MD=n:m$. Тогда