Что такое произвольная прямая?

Коротко: «произвольная прямая» в математике — это любая прямая из оговоренного набора (на плоскости, в пространстве, через точку $A$, параллельная $m$ и т. п.), выбранная без каких-то дополнительных, «особых» свойств. Мы не фиксируем конкретную линию и не приписываем ей ничего, кроме условий задачи.

Чуть подробнее, как это понимать и зачем так говорят:

• Универсальность (квантор «для всех»). Фраза «пусть $l$ — произвольная прямая …» буквально означает «возьмём любую $l$ …». Если дальше вы доказываете утверждение для этой одной, но произвольной прямой, то оно верно для всех таких прямых. Это стандартный приём — «метод произвольного элемента».

• Всегда есть контекст множества. «Произвольная» — не «любой объект вообще», а «любой из рассматриваемых». Например: «произвольная прямая на плоскости», «произвольная прямая, проходящая через $A$», «произвольная касательная к окружности». Сначала задаются рамки, внутри них — любой выбор.

• Не путать со «случайной». «Произвольная» ≠ «случайная (random)». Здесь нет вероятностей и жребия; это логическое «любой как угодно выбранный», а не статистическое «выбранный случайно».

• Отличие от «некоторой». «Некоторая прямая» соответствует существованию ($\exists$: «существует хотя бы одна»). «Произвольная прямая» соответствует всеобщности ($\forall$: «для любой»).

• Как встречается в формулировках.

  • «Проведите через точку $A$ произвольную прямую» — можно провести любую через $A$; итог решения не должен зависеть от конкретного выбора.

  • «Пусть $l$ — произвольная прямая, параллельная $m$. Докажите …» — значит, доказанное не должно опираться на какие-то особые свойства конкретной $l$, кроме параллельности $m$.

Итого: «произвольная прямая» — это переменная-заместитель для любой прямой в указанных условиях; доказав что-то для неё, вы тем самым доказали это для всех таких прямых.