Имеет ли корни уравнение а в кубе = а : а?

Да, имеет.

ОДЗ: в правой части стоит деление $a:a$, значит $a\neq 0$.

Тогда $a:a=1$ и уравнение сводится к

В действительных числах это даёт единственный корень:

Проверка: $1^3=1$ и $1:1=1$, равенство верно. Значение $a=0$ не подходит, так как деление на ноль не определено.

(Если рассматривать комплексные числа, ещё есть корни $a=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$, но всё равно $a\neq 0$.)