Диагонали параллелограмма АВСD пересекаются в точке О и равны между собой. Угол АОD равен 140 градусов. Найдите угол АВD.

Для решения задачи рассмотрим свойства параллелограмма и применим их к данной ситуации.

1. Параллелограмм имеет важное свойство: его диагонали пересекаются в точке и делят друг друга пополам. То есть точка пересечения диагоналей $O$ является серединой обеих диагоналей $AC$ и $BD$.

2. В задаче сказано, что диагонали параллелограмма равны между собой, то есть $AC = BD$.

3. Угол $AOD$ равен 140 градусам. Поскольку диагонали параллелограмма делят угол между собой, то угол $AOD$ — это угол между двумя половинами диагонали $AC$ и диагонали $BD$.

4. Поскольку диагонали равны, угол $AOD$ является углом между двумя равными отрезками, то есть угол $AOD$ делится пополам на два равных угла. То есть углы $\angle AOD$ и $\angle BOD$ будут равны:

   $$\angle AOD = \angle BOD = 140^\circ / 2 = 70^\circ.$$

5. Теперь, чтобы найти угол $\angle ABD$ (это и есть угол $AB$ в треугольнике $ABD$), используем тот факт, что сумма углов в треугольнике всегда равна 180 градусам. В треугольнике $ABD$ угол $\angle AOD$ является внешним углом, и его сумма с углами $\angle ABD$ и $\angle BDA$ также равна 180 градусам. Но так как углы $\angle ABD$ и $\angle BDA$ равны, мы можем вычислить:

   $$\angle ABD = \angle BDA = 70^\circ.$$

6. В результате угол $\angle ABD = 70^\circ$ (или $\angle ABV = 70^\circ$).