4*(1/16)^x-17*(1/4)^x+4=0

Для того чтобы решить уравнение $4 \cdot \left(\frac{1}{16}\right)^x - 17 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^x + 4 = 0$, давайте начнем с упрощения выражений и приведения их к одному основанию.

1. Представление выражений через одно основание:

   • Заметим, что $\frac{1}{16} = \left(\frac{1}{4}\right)^2$. То есть $\left(\frac{1}{16}\right)^x = \left(\left(\frac{1}{4}\right)^2\right)^x = \left(\frac{1}{4}\right)^{2x}$.

   • Тогда уравнение можно записать как:

   $$4 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{2x} - 17 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^x + 4 = 0.$$

2. Введение новой переменной:
   Обозначим $y = \left(\frac{1}{4}\right)^x$. Тогда $\left(\frac{1}{4}\right)^{2x} = y^2$, и уравнение примет вид:

   $$4y^2 - 17y + 4 = 0.$$

   Это квадратное уравнение относительно $y$.

3. Решение квадратного уравнения:
   Чтобы решить квадратное уравнение $4y^2 - 17y + 4 = 0$, используем формулу для корней квадратного уравнения:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},$$

   где $a = 4$, $b = -17$, $c = 4$. Подставим эти значения:

   $$y = \frac{-(-17) \pm \sqrt{(-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4}}{2 \cdot 4} = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 64}}{8} = \frac{17 \pm \sqrt{225}}{8}.$$

   Поскольку $\sqrt{225} = 15$, получаем:

   $$y = \frac{17 \pm 15}{8}.$$

4. Нахождение корней:
   Теперь находим два возможных значения для $y$:

   $$y_1 = \frac{17 + 15}{8} = \frac{32}{8} = 4, \quad y_2 = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}.$$

5. Возврат к переменной $x$:
   Мы знаем, что $y = \left(\frac{1}{4}\right)^x$, и теперь подставляем найденные значения $y$:

   • Для $y_1 = 4$