1) Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 10 и 11. Найдите длину основания BC. 2) В параллелограмме ABCD диагональ AC является биссектрисой угла A. Найдите периметр ABCD, если сторона AB равна 8.

1. Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция с основаниями $AD\parallel BC$. Опустим высоту $CE\perp AD$ (точка $E\in AD$). В равнобедренной трапеции проекции боковых сторон на основание равны, поэтому «лишние» куски основания по краям одинаковы:

Отсюда

По условию $AE$ и $ED$ — это отрезки длиной $10$ и $11$ (в каком-то порядке), значит

Ответ: $BC=1$.

2. В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ является биссектрисой угла $A$. Рассмотрим векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$. Направление биссектрисы угла между ними совпадает с направлением суммы единичных векторов

а сама диагональ $AC=\vec{AB}+\vec{AD}$. Чтобы диагональ шла по биссектрисе, векторы $\vec{AB}+\vec{AD}$ и $\frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|}+\frac{\vec{AD}}{|\vec{AD}|}$ должны быть сонаправлены, что возможно лишь при равенстве длин $AB=AD$. Значит, параллелограмм — ромб со стороной $8$, и его периметр

Ответ: периметр $=32$.