Вот рабочий чек-лист, которым я реально пользуюсь, когда попадаются «зубастые» задачи — от олимпиадных до рабочих кейсов в коде или аналитике.

1) Быстрый алгоритм решения сложных задач

1. Понять вопрос дословно

   • Что требуется: найти число, доказать свойство, построить пример/контрпример, оценить сверху/снизу?

   • Какие ограничения и ресурсы есть (время, память, диапазоны параметров)?

2. Переформулировать проще

   • Записать кратко символами.

   • Нарисовать схему/граф/отрезок/таблицу.

   • Заменить названия на переменные, ввести обозначения.

3. Разложить на подзадачи

   • «Что мешает?» → выписать 2–3 препятствия.

   • «Что если фиксировать один параметр?» → сделать частный случай, посмотреть закономерность.

   • Отделить то, что можно посчитать/перебрать, от того, что нужно доказать.

4. Выбрать приём (шпаргалка)

   • Арифметика/алгебра: уравнивания, подстановка, оценка, неравенства, разложение на множители.

   • Комбинаторика: инвариант/полуинвариант, принцип Дирихле, включений-исключений, динамическое программирование.

   • Геометрия: подобие/параллельность, углы, окружности, гомотетия, координаты/векторы.

   • Доказательства: индукция, от противного, контрпример.

   • Алгоритмы: «разделяй и властвуй», жадный, ДП, графы (BFS/DFS/Дейкстра), двоичный поиск по ответу.

5. Пилотный расчёт на простом случае

   • Малые числа (n=1,2,3), граничные условия.

   • Проверить, что гипотеза работает на «краях».

6. Решить «ядро» задачи

   • Аккуратно расписать ключевой шаг, чтобы его можно было проверить чужими глазами.

7. Верификация

   • Обратная подстановка/проверка размерностей/единиц.

   • Оценка разумности: порядок величин, пределы, экстремальные случаи.

   • Если программирование — тесты: минимальные, случайные, «злые».

8. Формат ответа

   • Чёткий вывод, затем краткое обоснование, затем детали.

   • Если задача на доказательство — где именно использована гипотеза.

2) Часто срабатывающие «гвозди»

• Инвариант: величина, которая не меняется (или меняется монотонно). Удобно в играх/процессах.

• Симметрия: свести варианты к одному.

• Оценка сверху/снизу: посчитать грубо, но достаточно для ответа.

• Переход к координатам/векторам: геометрию превращаем в линейную алгебру.

• Двоичный поиск по ответу: если «можно/нельзя» проверяется за логичное время.

• ДП: когда подзадачи перекрываются и состояние описывается коротко.

• Графовая модель: объекты → вершины, отношения → рёбра.

• Нормализация: поделить все величины на что-то удобное, сдвинуть начало координат, логарифмировать.

3) Разбор на примерах

Пример A (алгебра, текстовая задача)

Задача. Есть два раствора соли: 20% и 50%. Сколько миллилитров каждого взять, чтобы получить 200 мл 35%?

Решение. Пусть $x$ — мл 20% раствора, значит $200-x$ — 50%. По соли:

$0{,}20x + 100 - 0{,}50x = 70 \Rightarrow -0{,}30x = -30 \Rightarrow x = 100.$
Ответ: 100 мл 20% и 100 мл 50%.
Комментарий методики: формализовали, одно уравнение — готово.

Пример B (комбинаторика с инвариантом)

Задача. На доске число 1. Разрешено: заменить $n$ на $3n+1$ или на $\lfloor n/2 \rfloor$. Можно ли получить 2?

Идея. Посмотрим чётность.

• Операция $3n+1$: чётность меняется на противоположную (нечётное → чётное, чётное → нечётное).

• Операция $\lfloor n/2 \rfloor$: чётность сохраняется только если $n\equiv 0 \pmod{4}$, иначе меняется. Это неудобно.

Лучше взять инвариант по модулю 3.

• $3n+1 \equiv 1 \pmod{3}$ всегда.

• $\lfloor n/2 \rfloor \equiv \begin{cases} 0, & n\equiv 0 \pmod{6}\\ 1, & n\equiv 2,3,4 \pmod{6}\\ 2, & n\equiv 1,5 \pmod{6} \end{cases}$

Стартуем с 1 ($\equiv 1 \pmod{3}$). Применив $3n+1$, снова получаем число $\equiv 1$. Чтобы выйти из класса 1 по модулю 3, надо делить пополам из конкретных остатков; но заметим, что число 2 — это $2 \equiv -1 \equiv 2 \pmod{3}$. Покажем недостижимость: из класса 1 мод 3 можно попасть в 2 только через деление числа с остатком 1 или 5 по модулю 6. Но единственный способ получить такие остатки из $1\pmod{3}$ операцией $3n+1$ невозможен (она даёт всегда $1\pmod{3}$). Значит класс 2 недостижим.
Ответ: нельзя.
Комментарий методики: подбор инварианта закрыл вопрос без перебора.

Пример C (геометрия, координаты)

Задача. В треугольнике $ABC$ взяли середины $M,N,P$ сторон $BC,CA,AB$. Докажите, что центроиды треугольников $AMN, BNP, CPM$ совпадают с центроидом $ABC$.

Решение. Введём координаты: $A(a), B(b), C(c)$ как векторы. Середины:
$M=(b+c)/2,\ N=(c+a)/2,\ P=(a+b)/2.$
Центроид $G$ исходного треугольника: $G=(a+b+c)/3.$

Центроид $AMN$ равен среднему:

Аналогично $G_2=\frac{(2b+c+2a)}{6}$, $G_3=\frac{(2c+a+2b)}{6}$. Их среднее: